Il quadrante di un orologio ha dodici numeri distribuiti lungo il perimetro di una circonferenza. Al numero dodici dovrebbe seguire il numero tredici, però ciò che facciamo è cominciare a contare da capo. Questa operazione la compiamo ogni giorno quando osserviamo l’orologio, dato che per distinguere le ore che precedono al mezzogiorno da quelle che lo seguono è abitudine continuare a contare partendo da dodici. Ad esempio quando ci riferiamo alle 17,00 intendiamo che equivale alle “5 del pomeriggio”, per cui in questo senso sappiamo che il numero 17 appartiene alla stessa “classe” del 5. Partendo da qui, ciò che Gauss ci propone sono diversi orologi o, più precisamente, diversi quadranti. Ad esempio, un orologio che abbia solo 5 ore ci darà una tavola di questo tipo:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | … |
In questo modo, in base al criterio che abbiamo stabilito in precedenza, possiamo affermare che il numero 17 fa parte del gruppo del 2 o, parlando con maggiore proprietà, che appartiene dalla “classe” del 2. È facile stabilire a che classe appartiene un qualunque numero. Prendiamo ad esempio il 18: dovremmo far compiere 3 giri al nostro orologio di 5 ore per arrivare a 15 e poi cominciare di nuovo fino ad arrivare al numero 3, stabilendo così che appartiene alla classe del 3. Questo equivale a dividere 18 per 5 e calcolare il resto della divisione che è 3. Questa operazione è molto pratica quando si ha a che fare con numeri molto grandi. Se vogliamo sapere a che classe appartiene il numero 40.248, lo divideremo per 5, il che darà un quoziente di 8.049 e un resto di 3; pertanto 40.248 appartiene alla classe del 3. Siccome i multipli del 5, dividendoli per 5, danno tutti resto 0, quello che si fa è chiamare 0 la classe del 5, perciò la tavola precedente risulterà essere:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 20 | 21 | 22 | 23 | … |
Potremmo dire che 17 equivale a 2, però una uguaglianza come 17=2 potrebbe creare confusione, e perciò si usa scriverla nella forma 17≡2. Manca un dato: che tipo di orologio stiamo usando. In questo caso specifico è un orologio nel quale ci sono solo cinque numeri nel quadrante, e lo indicheremo ponendo a destra mod 5, così l’espressione precedente risulterà definitivamente nel seguente modo: 17≡2 (mod 5). Questa espressione corrisponde a dire che 17 e 2 sono equivalenti in modulo 5. Come era d’abitudine all’epoca, Gauss usava il latino per i suoi scritti scientifici, motivo per cui adottò il vocabolo modulo. Grazie a questo “gioco” nacque quella che attualmente conosciamo come aritmetica modulare, uno degli strumenti più potenti della teoria dei numeri.
Mirko Mondini, diplomato 2014
